Il ne faut pas confondre la locution concessive indéfinie quoi...que avec la conjonction concessive quoique.

Quoi...que peut être remplacé par « quelle que soit la chose que, la chose qui » ou « une chose quelconque ».

Ex : Quoi que vous décidiez, vous devrez m'en faire part (quelle que soit la chose que vous décidiez); je ne t'ai pas demandé quoi que ce soit (je ne t'ai pas demandé une chose quelconque).

Quoique peut être remplacé par « bien que » ou « encore que ». 
Cette conjonction s'élide devant il, ils, elle, elles, on, un et une.
Devant en, l'usage est flottant. On préférera la forme non élidée.

Ex : Quoiqu'il soit parti, il reviendra; quoique en Bretagne il ne fasse jamais très froid.

Après quoique, le verbe qui suit est généralement au subjonctif, mais l'indicatif ou le conditionnel sont possibles dans certaines propositions qui présentent une objection. Quoique signifie alors « mais ».

Ex : Je vais t'accompagner, quoique je préférerais rester chez moi.